《電子技術(shù)應(yīng)用》
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基于差分進化的IRA碼度分布優(yōu)化

2009-04-07
作者:馬 琦1,王海濱1,2,陳曾平1

  摘 要: 針對一般LDPC碼優(yōu)化方法無法有效實現(xiàn)IRA碼度分布優(yōu)化的問題,提出了特定約束下IRA碼度分布的優(yōu)化方法。結(jié)合密度進化的高斯近似算法優(yōu)化IRA碼度分布序列,提取了IRA碼檢驗矩陣構(gòu)造的特定約束以改進差分進化算法。仿真結(jié)果表明,所設(shè)計的度分布序列的噪聲門限高且搜索時間比改進前減少30%。
  關(guān)鍵詞: 低密度奇偶校驗碼; 度分布; 非規(guī)則重復(fù)累積碼; 差分進化

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  1962年,Gallager在其論文中首先提出了LDPC碼(Low-Density Parity-Check Codes)[1],但當(dāng)時并未受到重視,直到上世紀(jì)末被Mackay重新發(fā)現(xiàn)后,才掀起了一股研究與應(yīng)用的熱潮。LDPC碼是一類由非常稀疏的奇偶校驗矩陣及Tanner圖定義的線性分組前向糾錯碼,它具有簡單的結(jié)構(gòu)描述與硬件復(fù)雜度,可實現(xiàn)完全并行操作,有利于高速、大吞吐能力譯碼,譯碼復(fù)雜度亦比Turbo碼低,且具有更優(yōu)良的基底(Floor)殘余誤碼性能,因此,LDPC在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中得到了越來越多的應(yīng)用。常用的非規(guī)則LDPC碼校驗矩陣的非系統(tǒng)比特部分為雙對角線結(jié)構(gòu),即IRA碼(Irregular Repeat-Accumulate codes),這種結(jié)構(gòu)的特點給度分布優(yōu)化設(shè)計增加了更多約束。本文研究的重點是分析IRA碼構(gòu)造方法,從中提取碼構(gòu)造的特定約束,并轉(zhuǎn)化為度分布序列中各分量的相關(guān)性描述,以便消除相關(guān)性,利用差分進化DE(Differential Evolution)搜索最優(yōu)化的度分布序列,同時提出了改進方法,在一定程度上加快了搜索速度和性能。
1 IRA碼的構(gòu)造
1.1 度分布序列的定義
  設(shè)LDPC碼的碼長為n,信息比特長度為k,校驗比特長度為m,則n=k+m,碼率R=k/n。λ(x):=Σλi xi-1代表非規(guī)則LDPC碼Tanner圖中變量節(jié)點(v-node)的度分布,ρ(x):=Σλi xi-1代表校驗節(jié)點(c-node)的度分布。這里,λi是度為i的變量節(jié)點連接的邊占Tanner圖中所有邊的比例,λi是度為i的校驗節(jié)點連接的邊占Tanner圖中所有邊的比例,最大的變量節(jié)點度為dv,最大的校驗節(jié)點度為dc。非規(guī)則LDPC碼度分布序列可表示為λ2λ3…λdv, ρ2 ρ3…ρdv),容易驗證下列等式:
  
  定義Nv(i)為度等于i的變量節(jié)點個數(shù),Nc(i)為度等于i的校驗節(jié)點個數(shù),推導(dǎo)得出:
  

1.2 IRA碼構(gòu)造法
  下面分析參數(shù)文獻[3]中IRA碼的構(gòu)造方法。構(gòu)造一個(n-1,k)非規(guī)則LDPC碼,其校驗矩陣為:
  
  其中,H1是受度分布約束、隨機產(chǎn)生的稀疏矩陣,且不含重量為2的列;T包含了H中所有重量為2的列(即度為2的變量節(jié)點)。
  在矩陣T最后添加度為1的列構(gòu)成H2,產(chǎn)生一個新矩陣H,作為IRA碼的校驗矩陣,如式(6)、(7)所示[3]:
  
  在校驗矩陣中添加度為1的列后,IRA碼度分布只有略微變化,且該列位于校驗比特位置,對BP(Belief-Propagation)迭代解碼后的誤碼率影響很小。從構(gòu)造方法可知,IRA碼度分布受如下特殊約束:
  約束:所有度為2的變量節(jié)點都分配給奇偶校驗比特,且度為2的變量節(jié)點個數(shù)剛好為m(包括度為1的列)。m為IRA碼的校驗比特長度。
  通過推導(dǎo),由(6)式得系統(tǒng)碼生成矩陣:
  

式中H2T為上三角矩陣,可用傳遞函數(shù)為1/1+D的差分編碼器實現(xiàn),因此,IRA碼很容易在硬件上實現(xiàn)快速編碼。
對于已知碼率為R的IRA碼設(shè)計,設(shè)計約束實際上規(guī)定了度為2的變量節(jié)點個數(shù)和位置,結(jié)合(4)式,有:
  
又根據(jù)(1)式,有:
    

  

  從一個dv+dc-6維各分量不相關(guān)的分布矢量(λ4…λdv-1, ρ2…ρdc-1),可依據(jù)(9)~(12)式依次計算ρdv、λ2、λ3和λdv,從而唯一確定度分布序列。
2 密度進化的高斯近似和度分布優(yōu)化
??? 密度進化理論是分析度分布序列噪聲門限值的強有力工具,然而該理論涉及很多卷積運算,運算量大。為了簡化計算,Sac-Young Chung等針對加性高斯白噪聲信道AWGN(Additive White Gaussian Noise channel)提出了密度進化的高斯近似分析方法。在消息獨立和消息密度高斯分布條件下,該方法僅分析消息密度高斯分布均值,極大地減少了計算量。這里列出高斯近似分析法的消息密度均值遞推公式:
  


  使用(13)式計算消息概率密度函數(shù),從而得到迭代后解碼誤比特率,若誤比特率小于預(yù)設(shè)值ε(如10e-6),則適當(dāng)增大σn2,直到誤比特率大于ε。經(jīng)嘗試,求得度分布(λ,ρ)在誤比特率小于ε時的最大σn2,確定為該度分布的噪聲門限。
3 DE方法及改進
DE是一種并行搜索方法,能夠搜索連續(xù)空間非線性代價方程的全局極值。該方法有能力使搜索跳出局部極值點,避免錯誤的收斂。DE的特點在于產(chǎn)生測試參數(shù)矢量的方案。以DE實現(xiàn)IRA碼度分布序列優(yōu)化的步驟如下,流程如圖 1所示。

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  (1) 初始化:確定度分布序列中參與DE的變量個數(shù)L,隨機產(chǎn)生Np個L維隨機矢量xi,g(0≤i≤Np-1,g為迭代次數(shù));
  (2) 計算門限f(xi,g),找出最大值,設(shè)門限最大的矢量為基本矢量xb,g(如圖中xb,g=xl,g);
  (3) 對于每一個矢量xi,g,在其他矢量中隨機選擇兩個矢量xr1,g和xr2,g,定義F為權(quán)重因子,以下式計算新矢量vi,g,vi=xb,g+F(xr1,g-xr2,g);
  (4) 新矢量ui,g的每個分量以概率CR取vi,g的對應(yīng)分量值,以概率(1-CR)取xi,g的對應(yīng)分量值;
  (5) 選擇:如果 f(ui,g)> f(xi,g)則xi,g+1=ui,g否則xi,g+1= xi,g;
  (6) 停止準(zhǔn)則:如果超過了最大迭代次數(shù)或所有矢量已經(jīng)充分接近,則迭代結(jié)束;否則跳轉(zhuǎn)到第(2)步。
  權(quán)重因子F對DE的影響很大,增大F會加快收斂速度,但容易收斂于局部極值點;減小F則效果相反。這里,F(xiàn)取0.8;測試矢量數(shù)Np取10L~30L;交疊參數(shù)CR對DE的影響比F小,它更像一種微調(diào),取較大的CR會加快收斂速度,一般在[0.5,1]中取值。
  使用DE搜索IRA碼的最優(yōu)度分布序列,首先要消除度分布序列各分量的相關(guān)性,否則搜索到的結(jié)果無法滿足IRA碼設(shè)計的特定要求。1.2節(jié)最后指出dv+dc-6維的分布矢量(λ4…λdv-1, ρ2…ρdv-1)中各分量消除了相關(guān)性,并唯一確定度分布序列,因此,筆者在優(yōu)化中使用該矢量。
  DE搜索IRA碼的最優(yōu)度分布序列相當(dāng)耗時,特別是當(dāng)dv和dc較大,即測試矢量維數(shù)較大時,差分進化的速度很難讓人滿意,根據(jù)一些先驗知識和測試結(jié)果,在不影響最終結(jié)果的前提下,改進了DE方法,加快了優(yōu)化速度。
  測試表明,DE的大部分時間消耗于第二步的門限計算上,因而,改進的主要目標(biāo)是減少門限計算的時間,為此首先要減少DE測試矢量維數(shù)。
  先假定在IRA碼的度分布序列中只有(λ2λ3λ4λdv, ρdv-1 ρdv)大于零,其他都為零,根據(jù)(9)~(12)式,去相關(guān)性之后的矢量為(λ4,ρdv-1),矢量維數(shù)從dv+dc-6維銳減為2維。實驗結(jié)果表明,矢量每減少一維,DE的收斂時間大約減少一半,改進后DE可迅速收斂。我們稱這種維數(shù)削減的DE過程為“DE_FIRST”。一般來說,在dv不大時(如dv<10)結(jié)果已經(jīng)很接近最優(yōu)的度分布了,但當(dāng)dv較大時結(jié)果距最優(yōu)的度分布仍有一定差距,這時還要搜索更優(yōu)的度分布。適當(dāng)調(diào)整當(dāng)前的最優(yōu)矢量(λ2λ3λ4λdv, ρdv-1 ρdv),在該矢量的一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生L=dv-2個矢量,并在此約束下隨機產(chǎn)生若干取值較小的矢量(λ5λ6…λdvdv-2)組成dv-2維隨機矢量(λ4…λdv-1, ρdc-2, ρdc-1),然后從DE的第二步開始繼續(xù)搜索。這里并沒有擴展(ρ2…ρdc-3)是因為將這些分量設(shè)為零幾乎不會影響優(yōu)化度分布的結(jié)果。擴展后的隨機矢量唯一確定的度分布已經(jīng)十分接近最優(yōu)化的度分布了,所以DE的收斂速度比一開始就隨機產(chǎn)生dv-2維隨機矢量的DE快很多。我們稱維數(shù)擴展以后的差分進化過程為“DE_SECOND”。

  通過分析大量優(yōu)化結(jié)果和其他文獻給出的優(yōu)化序列可以發(fā)現(xiàn),λ4數(shù)值較小,大多取值在[0,0.2]內(nèi),ρdc-1也比ρdc小,一般取值在[0,0.4]。這樣,“DE_FIRST”的初始隨機矢量選擇范圍可以減小,在第一步中,矢量(λ4,ρdc-1)的兩個分量分別在上述兩個區(qū)間隨機產(chǎn)生。實驗證明,這樣做能夠加快搜索速度。
4 仿真結(jié)果
  仿真參數(shù)設(shè)置如下:碼率為1/2;差分進化的Np=20L,F(xiàn)=0.8,CR=0.8。表1列出了用本文介紹的基于密度進化高斯近似的DE搜索方法得到的最優(yōu)化度分布,同時還列出了參考文獻[4]優(yōu)化得到的非規(guī)則LDPC碼度分布和參考文獻[5]同樣用密度進化高斯近似優(yōu)化得到的非規(guī)則LDPC碼度分布。最后一行是度分布對應(yīng)的噪聲門限。比較dv=20的噪聲門限可知,本文方法得到的最優(yōu)化度分布優(yōu)于參考文獻[5]中的最優(yōu)化度分布,如圖2所示。由于優(yōu)化后的非規(guī)則LDPC碼的Nv(2)一般略大于(11)式規(guī)定的值,因此在約束下搜索的IRA碼度分布中λ2比優(yōu)化的非規(guī)則LDPC碼度分布中λ2小,如表1所示。若沒有IRA碼的設(shè)計約束,本文介紹的方法可以搜索到更好的度分布序列。表2是DE改進前后收斂時間及噪聲門限?滓的對比(仿真程序運行于1.5GHz PC機),可知,改進前后優(yōu)化的度分布噪聲門限很接近,而改進方法能夠節(jié)省大約30%的搜索時間。

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  本文通過分析IRA碼構(gòu)造方法的特定約束,消除了度分布序列各分量之間的相關(guān)性,從而利用DE方法搜索具有更高噪聲門限的度分布序列,并利用先驗知識改進了DE方法,加快了搜索速度。這種方法也可以用來搜索其他構(gòu)造方式下優(yōu)化的度分布序列,對更廣泛的非規(guī)則LDPC碼優(yōu)化設(shè)計具有一定的借鑒意義。

參考文獻
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[5] ?肖娟,王琳,鄧禮釗. 不規(guī)則LDPC碼的密度進化方法及門限值確定[J]. 電子與信息學(xué)報, 2005,27(4):617-620.

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