摘? 要: 介紹一種在8096/98系列單片機(jī)上實(shí)現(xiàn)的單精度浮點(diǎn)數(shù)快速除法。該算法采用了預(yù)估-修正的數(shù)值計(jì)算方法,并充分利用了16位CPU中的乘除法指令,計(jì)算速度快、精度高,有很強(qiáng)的實(shí)用性。

　　關(guān)鍵詞: 浮點(diǎn)數(shù)? 除法 尾數(shù)? 預(yù)估-修正? 誤差? 精度

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　　在較為復(fù)雜的單片機(jī)系統(tǒng)中,為擴(kuò)大取值范圍,實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算和控制,一般都要涉及浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算。而一般單片機(jī)是沒有浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算指令的,必須自行編制相應(yīng)軟件。在進(jìn)行除法計(jì)算時(shí),通常使用的方法是比較除法^[1],即利用循環(huán)移位和減法操作來得到24～32位商,效率很低。有些文獻(xiàn)給出了一些改進(jìn)方法^[2],但思路不清晰,很難推廣使用。這里給出一種浮點(diǎn)數(shù)除法運(yùn)算的實(shí)用快速算法。該方法以數(shù)值計(jì)算中的預(yù)估-修正方法為指導(dǎo),充分利用了16位單片機(jī)的乘除法功能,很輕易地實(shí)現(xiàn)了浮點(diǎn)數(shù)的除法。

1 浮點(diǎn)數(shù)格式

　　IEEE的浮點(diǎn)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定了單精度(4字節(jié))、雙精度(8字節(jié))和擴(kuò)展精度(10字節(jié))三種浮點(diǎn)數(shù)的格式。最常用的是單精度浮點(diǎn)數(shù),格式如圖1所示。但是這種格式的階碼不在同一個(gè)字節(jié)單元內(nèi),不易尋址,從而會(huì)影響運(yùn)算速度。

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　　通常在單片機(jī)上采用的是一種變形格式的浮點(diǎn)數(shù),如圖2所示。其中的23位尾數(shù)加上隱含的最高位1，構(gòu)成一個(gè)定點(diǎn)原碼小數(shù),即尾數(shù)為小于1大于等于0.5的小數(shù)。有關(guān)浮點(diǎn)數(shù)格式的詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參考有關(guān)文獻(xiàn)[1][2]。

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2 快速除法的算法原理

　　在16位單片機(jī)中只有16位的乘除法,而浮點(diǎn)數(shù)的精度(即尾數(shù)的有效位數(shù))達(dá)24位,因此無法直接相除,但仍然可以利用16位的乘除法指令來實(shí)現(xiàn)24位除法。不過,如果只進(jìn)行一次16位的除法必定會(huì)帶來很大誤差,因此問題的關(guān)鍵在于如何消除這個(gè)誤差,從而達(dá)到要求的精度。這其實(shí)就是通常數(shù)值計(jì)算中所采用的預(yù)估-修正方法。

　　假設(shè)兩個(gè)浮點(diǎn)數(shù)經(jīng)過預(yù)處理后,被除數(shù)和除數(shù)尾數(shù)擴(kuò)展為32位(末8位為0)分別放入X和Y中。令YL為Y的低16位，并記Y_H=Y-Y_L。顯然Y_H≈Y，X/Y與X/Y_H相差不多:

　　可見只需要在X/YH的基礎(chǔ)上再乘以一個(gè)修正因子(YH-YL)/YH,就可以得到X/Y的一次校準(zhǔn)值。不難證明這個(gè)值已經(jīng)達(dá)到了24位的精度要求。事實(shí)上,相對(duì)誤差滿足:

　　這說明這個(gè)一次校準(zhǔn)值完全可以作為最終的結(jié)果。

3 算法的具體實(shí)現(xiàn)

　　這里的YH雖仍是32位,但其低16位已為0,計(jì)算時(shí)可以將它視為16位數(shù),這不會(huì)影響計(jì)算精度。通過兩次16位除法,就可得到精確的32位結(jié)果。例如,計(jì)算Q₀時(shí),第一次除法,X除以YH的高16位,得到的商為Q₀的高16位,而16位余數(shù)末尾添0成32位,再除以YH的高16位,得到Q₀的低16位(余數(shù)舍去)。由此得到了32位的Q₀。

　　在具體運(yùn)算中,X應(yīng)先除以4(X右移2位),以保證Q₀不會(huì)溢出(Y_H取高16位)：

　　在計(jì)算Q₀′、Q₁時(shí),均進(jìn)行了兩次16位除法,使得Q₀′、Q₁均為精確的32位,保證了計(jì)算過程中的精度,減小了累積誤差。對(duì)于Y_L=0即除數(shù)只有16位有效數(shù)字的特殊情況,直接有Q₁=1,還能省去兩次16位除法。

　　在計(jì)算Q時(shí),則通過3次16位乘法實(shí)現(xiàn)了32位乘法,取結(jié)果的高32位,即得Q。

　　整個(gè)算法至多只須用4次除法、3次乘法和5次加法,就求得了浮點(diǎn)數(shù)商的尾數(shù),可見計(jì)算效率是很高的,保證了運(yùn)算速度。

　　浮點(diǎn)數(shù)除法流程圖如圖3所示。

4 程序源代碼

　　限于篇幅,只給出源代碼中的關(guān)鍵部分,即有效數(shù)字的計(jì)算部分。

；被除數(shù)為x，除數(shù)為y

；用yh，yl分別表示y的高16位和低16位

…

；假設(shè)x，y的有效數(shù)字部分分別在(d_x，c_x)和(b_x，a_x)中

；計(jì)算預(yù)估值Q₀′=(x/4)/y_h

shrl? cx， #2???????? ；計(jì)算x/4

divu cx， bx????????? ；計(jì)算(x/4)÷yh

ld?fx， cx??? ??????? ；把商暫放入寄存器f_x，即Q₀′的高16位有

????????????????????? ；效數(shù)字

clr?? cx

divu cx， bx????????? ；把余數(shù)末尾添0后再除以yh

ld? ex， cx???? 　　??；把商暫放入寄存器e_x， 即Q₀′

??????????????????????；的低16位有效數(shù)字

??????????????????????；(f_x，e_x) = Q₀′

；計(jì)算修正因子 Q₁=(yh-y_l)/yh

cmp ax， 0??????????? ；判斷yl是否為0

jne?? getQ1?????????? ；若yl非0，計(jì)算修正因數(shù)Q1

ld?? ax， ex????????? ；若yl=0， 修正因數(shù)Q1=1

ld? ?bx， fx????????? ；(Q₀′×Q₁)=Q₀′，可以直接計(jì)算Q

sjmp? getQ

getQ1：

ld? hx， bx?????????? ；把yh放于寄存器hx中

neg? ax

dec? bx?????????????? ；計(jì)算yh-yl

divu ax， hx????????? ；計(jì)算Q1=(yh-yl)÷yh

ld??dx， ax?? ????????；把商暫時(shí)放入寄存器d_x，即Q₁的高16位有

????????????????????? ；效數(shù)字

clr?? ax

divu ax， hx?? ?????? ；把余數(shù)末尾添0后再除以yh,得Q1的

????????????????????? ；低16位有效數(shù)字

ld? bx dx　 ??????????；(b_x，a_x) = Q₁

；計(jì)算Q₀′×Q₁=(f_x，e_x)×(b_x，a_x)，只取32位有效數(shù)字

ld???? hx， bx

mulu???cx， bx， ex?? ；(d_x，c_x) = b_x×e_x

mulu???ax， fx??????? ；(b_x，a_x) = a_x×f_x

clr? ex?

add? cx， ax?

addc? dx， bx?

addc? ex， 0?????????? ；(ex，dx，cx)=(dx，cx)+(bx，ax)?

mulu? ax， fx， hx???? ；(bx，ax) = fx×hx?

add? ax， dx????????? ?；(bx，ax) = (bx，ax)+(ex，dx)?

addc??bx， ex????? ????；(bx，ax) = Q0′× Q1?

；計(jì)算校準(zhǔn)值Q = (Q₀′×Q₁)×4并調(diào)整階碼

getQ：

　　…　

　　代碼到這里為止,浮點(diǎn)數(shù)商的有效數(shù)字已經(jīng)全部求出。只要再執(zhí)行一些調(diào)整浮點(diǎn)數(shù)階碼的操作,就可以得到最終結(jié)果。

　　在作者開發(fā)的一個(gè)80C196KC單片機(jī)系統(tǒng)中,涉及到了二進(jìn)制-十進(jìn)制數(shù)制轉(zhuǎn)換、分段線性插值、數(shù)字濾波等大量浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算,都是靠加減乘除等底層函數(shù)來實(shí)現(xiàn)的。

　　此外,本算法思路清晰,因此很容易加以推廣。例如,為了得到更高的精度，可取修正因子:

　　????

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參考文獻(xiàn)

1 復(fù)旦大學(xué)計(jì)算機(jī)系微機(jī)開發(fā)研究室.十六位單片機(jī)8096的原理和設(shè)計(jì)方法.重慶：科學(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社重

? 慶分社，1988

2 涂時(shí)亮，姚志石.單片微機(jī)MCS-96/98實(shí)用子程序.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社， 1991

3 李慶揚(yáng).數(shù)值分析. 武漢：華中工學(xué)院出版社， 1986