摘要：針對(duì)TV模型存在分塊效應(yīng)，而四階PDE模型具有保持平坦區(qū)域光滑性的特點(diǎn)，提出自適應(yīng)耦合TV和四階PDE的正則化圖像放大模型。根據(jù)圖像內(nèi)容合理調(diào)整耦合系數(shù)，在圖像漸變和平坦區(qū)域運(yùn)用四階PDE擴(kuò)散，消除分塊效應(yīng)；而在圖像的突變區(qū)域運(yùn)用TV模型濾波，保持突變邊緣。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法是一種有效的圖像放大方法。
關(guān)鍵詞：圖像放大；偏微分方程；總變分；高階PDE

0 引言
    圖像放大指增大圖像尺寸或提高其分辨率，同時(shí)保持較高的質(zhì)量，以得到一個(gè)較好的視覺效果，或突出某些細(xì)節(jié)。圖像放大通常可分兩步進(jìn)行：首先對(duì)圖像進(jìn)行空間變換；其次對(duì)圖像進(jìn)行灰度級(jí)插值、處理。
    傳統(tǒng)的線性插值算法有最近鄰法、雙線性插值法以及三次樣條插值法等。這些方法用一些已知的簡(jiǎn)單函數(shù)根據(jù)一定的光滑性要求逼近原圖像。它們有其固有的缺點(diǎn)，如放大后的圖像邊緣模糊化和邊緣鋸齒化，而且放大倍數(shù)越大，這些現(xiàn)象越明顯。自適應(yīng)插值方法在空間上使插值系數(shù)較好地匹配邊緣附近的局部圖像結(jié)構(gòu)，但在選擇和估計(jì)感興趣的邊緣時(shí)會(huì)導(dǎo)致誤差。邊緣指導(dǎo)的插值方法利用有限的對(duì)于邊緣的方向和幅度的量化來擬合圖像的亞像素邊緣，阻止跨邊緣的插值，因而能夠產(chǎn)生尖銳的邊緣，但對(duì)于邊緣的擬合過于簡(jiǎn)單和粗糙，且會(huì)丟失一些圖像特征。其他還有基于凸集投影的迭代方法，基于小波變換和數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法等，這些方法在性能上仍然有待提高，特別是在圖像含有噪聲的情況下。
    基于偏微分方程(Partial Differential Equations，PDE)的圖像放大方法是在插值圖像的基礎(chǔ)上，通過迭代演化求解擴(kuò)散方程，從而得到高分辨率圖像，并去除噪聲和人工痕跡等的影響。由于可以很方便地引入先驗(yàn)知識(shí)，其獲得了良好的處理性能，已引起了廣泛關(guān)注，其中主流是基于正則化的PDE方法。各向同性擴(kuò)散的PDE模型放大圖像時(shí)容易出現(xiàn)邊緣模糊、細(xì)節(jié)特征丟失等現(xiàn)象。而各向異性擴(kuò)散的PDE雖然能在某種程度上保持放大圖像的細(xì)節(jié)特征，但隨著迭代求解次數(shù)的增加，圖像部分重要信息會(huì)偏離原圖像，導(dǎo)致圖像模糊。采用總變分(Total V-ariation，TV)模型進(jìn)行圖像放大，能夠有效保持突變邊緣，且收斂速度快，但在平坦區(qū)域和漸變區(qū)域會(huì)產(chǎn)生分塊效應(yīng)。而四階PDE模型具有保持平坦區(qū)域光滑度的優(yōu)點(diǎn)，將其用于圖像放大會(huì)避免分塊效應(yīng)，但卻降低了邊緣等重要幾何結(jié)構(gòu)的清晰度。
    為充分運(yùn)用四階PDE模型保持漸變區(qū)域光滑度的優(yōu)點(diǎn)，彌補(bǔ)總變分TV模型存在分塊效應(yīng)的不足，同時(shí)也保留了TV模型保持圖像中不連續(xù)邊緣的優(yōu)點(diǎn)，本文提出了自適應(yīng)耦合總變分TV和四階PDE的正則化圖像放大模型。根據(jù)圖像內(nèi)容合理調(diào)整耦合系數(shù)，在圖像漸變區(qū)域和平坦區(qū)域主要運(yùn)用四階模型進(jìn)行平滑，消除階梯效應(yīng)和分塊效應(yīng)；在圖像的突變區(qū)域著重運(yùn)用TV模型進(jìn)行平滑，保持突變邊緣。仿真實(shí)驗(yàn)證明，本文算法能夠有效提高放大圖像的主觀視覺質(zhì)量和客觀保真度。

1 自適應(yīng)耦合TV和四階PDE的正則化圖像放大模型
    TV模型最初用于圖像恢復(fù)中。設(shè)g，u分別表示低分辨率圖像和高分辨率圖像，根據(jù)極大似然原理，圖像放大可以歸結(jié)為如下不帶約束的正則化能量方程的極小化問題：
   
    式中：D為圖像分辨率退化模型矩陣，刻畫了圖像獲取中的低通濾波和下采樣過程；式中第一項(xiàng)為逼近項(xiàng)，表示圖像和退化圖像的差異；第二項(xiàng)為圖像的正則化函數(shù)，它依賴于圖像，函數(shù)R(·)對(duì)圖像u加以約束，一般取為梯度的Lp(p>0)范數(shù)；λ>O為L(zhǎng)agrange乘子，在逼近項(xiàng)和正則化函數(shù)之間起平衡作用。
    如果選擇圖像梯度的L2范數(shù)作為正則化函數(shù)，則因?yàn)槔绽顾阕泳哂泻軓?qiáng)的各向同性擴(kuò)散特性，造成邊緣保持特性較差。總變分TV模型用圖像梯度的L1范數(shù)代替L2范數(shù)，具有很好的邊緣保持特性。圖像的TV定義為：
   
    式中：Ω是圖像區(qū)域。于是圖像放大問題就轉(zhuǎn)化成為如下無約束極小化問題：
   
    式中：等式右端第一項(xiàng)為圖像的總變分范數(shù)(TV范數(shù))，它依賴于圖像的變分幅度。
    TV模型的優(yōu)勢(shì)在于它并不要求圖像是連續(xù)的，它在放大圖像的同時(shí)，可以保持圖像中的不連續(xù)邊緣。TV模型的不足在于其穩(wěn)態(tài)解中往往存在分塊效應(yīng)。采用TV模型處理后圖像的平坦區(qū)域和漸變區(qū)域內(nèi)灰度非常接近或相同，整個(gè)圖像似乎是由不同亮度的區(qū)域組成，且其輪廓顯得過分尖銳，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生額外的邊緣。
    在式(1)中，若取正則化函數(shù)R(u)=f(|▽2u|)時(shí)，可得如下最小化能量函數(shù)：
   
    此即四階PDE模型，其中，▽2。表示拉普拉斯算子；f是非負(fù)且嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)。最小化式(4)相當(dāng)于找一個(gè)最小的|▽2u|，即平滑圖像u，同時(shí)又保持u與初始u0接近。

    對(duì)于灰度漸變的區(qū)域，四階PDE模型式(4)并不會(huì)像TV模型那樣把圖像變?yōu)閹讉€(gè)灰度值不同的塊，而是將它平滑成一個(gè)灰度漸變的區(qū)域，雖然這和真實(shí)圖像不一定相同，但它一般不會(huì)產(chǎn)生額外的邊緣，與TV模型的結(jié)果相比，四階PDE模型克服了TV模型存在的圖像分塊這一不足，具有保持平坦區(qū)域光滑度的優(yōu)點(diǎn)，但卻降低了邊緣等重要幾何結(jié)構(gòu)的清晰度。
    為充分發(fā)揮這兩種PDE模型的優(yōu)點(diǎn)，本文提出自適應(yīng)耦合TV和四階PDE的圖像放大模型。其基本思想就是根據(jù)圖像的局部特征，自適應(yīng)調(diào)整這兩種正則化模型的權(quán)重。在圖像漸變區(qū)域和平坦區(qū)域主要運(yùn)用四階PDE進(jìn)行平滑，消除分塊效應(yīng)；而在圖像的突變區(qū)域重點(diǎn)用TV模型進(jìn)行平滑，保持突變邊緣。其最小化能量函數(shù)為：
   
    式中：λ>0為L(zhǎng)agrange乘子；p∈[0，1]，決定了TV和四階模型的權(quán)值，可根據(jù)圖像內(nèi)容自適應(yīng)調(diào)節(jié)。在突變區(qū)域，要求p等于或接近于0，這樣就主要采用二階TV模型對(duì)圖像進(jìn)行平滑；在圖像的漸變區(qū)域和平坦區(qū)域，要求0<     式(5)對(duì)應(yīng)的Euler-Lagrange方程為：
   

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析
    本文實(shí)驗(yàn)主要與傳統(tǒng)的雙線性插值方法、TV模型和四階PDE模型放大方法進(jìn)行比較。算法性能由放大圖像的峰值信噪比(Peak Signal to Noise Rate，PSNR)及主觀視覺效果評(píng)價(jià)。
    本組實(shí)驗(yàn)中，對(duì)512×512的不同內(nèi)容的標(biāo)準(zhǔn)圖像，進(jìn)行4倍率平滑下采樣，得到分辨率為128×128的低分辨率圖像，然后采用不同的方法放大。實(shí)驗(yàn)參數(shù)為：λ=0．01，△t=0．001，T=100，k=20，，σ=5。采用不同方法對(duì)5幅標(biāo)準(zhǔn)圖像放大的PSNR比較見表1。從PS-NR的角度看，本文耦合模型達(dá)到了最高的PSNR值。

    圖1，圖2分別為對(duì)Cameraman，Lena圖像及其部分細(xì)節(jié)用TV模型及本文耦合模型放大結(jié)果比較圖。

    從細(xì)節(jié)放大圖的對(duì)比可見，TV模型復(fù)原的圖像存在嚴(yán)重的分塊效應(yīng)，而本文耦合模型將圖像平滑成了一個(gè)灰度漸變的區(qū)域，消除了分塊效應(yīng)，得到了視覺效果較好的圖像。

3 結(jié)論
    通過將TV模型和四階PDE自適應(yīng)結(jié)合，充分運(yùn)用四階PDE模型保持漸變區(qū)域光滑度的優(yōu)點(diǎn)彌補(bǔ)總變分TV模型存在分塊效應(yīng)的不足，同時(shí)也保留了TV模型保持圖像中不連續(xù)邊緣的優(yōu)點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了本文模型的良好性能，同時(shí)也證明了PDE方法用于圖像處理的優(yōu)越性。進(jìn)一步的研究包括彩色圖像的PDE處理等。