摘 要：采用線性累積模型對具有無故障壽命的某型號電纜絕緣性能步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，給出了在多截尾情況下參數(shù)的極大似然估計和似然函數(shù)的通式。
關(guān)鍵詞： 電纜 線性累積模型 步進(jìn)應(yīng)力 加速壽命試驗 極大似然估計
隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)品的質(zhì)量在不斷提高，一些產(chǎn)品已呈現(xiàn)出無故障壽命，特別是在電子行業(yè)，環(huán)境應(yīng)力屏蔽的廣泛使用，使電子產(chǎn)品出現(xiàn)了較長的無故障壽命。此時，那些不考慮無故障壽命而分析產(chǎn)品壽命分布數(shù)據(jù)的模型(如Nelson模型[1])就不再適用了。本文采用線性累積模型對具有無故障壽命的產(chǎn)品的步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，取得了比較好的效果。
1 提出問題
為了解某型號電纜的絕緣性能，對其絕緣壽命進(jìn)行了定時截尾步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗。表1是試驗時各階段的應(yīng)力水平Si，表2是部分試驗數(shù)據(jù)。
各個應(yīng)力水平下電纜絕緣壽命服從威布爾分布，其可靠度函數(shù)為：
其中，i＝1,2,...,N(N為應(yīng)力水平數(shù))；γi、ηi分別為位置參數(shù)和尺度參數(shù)，均與應(yīng)力水平有關(guān)；β為形狀參數(shù)，反映失效機(jī)理[2]。本試驗的前提是失效機(jī)理不發(fā)生變化，因而β是一個常量。那么，怎樣根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)來估計這些參數(shù)呢？
2 分析問題
2.1線性累積模型
從總體中抽取一個樣本，在應(yīng)力水平Si下產(chǎn)品有一個確定但未知的壽命t(i,R)，t(i,R)可解釋為Si下產(chǎn)品壽命分布的1－R分位數(shù)。線性累積模型需要作如下的假設(shè)：
假設(shè)I 樣品在應(yīng)力Si下保存時間△ti，該應(yīng)力水平下樣品的疲勞效應(yīng)為△ti/t(i,R)；
假設(shè)II 任意一樣品其疲勞效應(yīng)是線性累積的，即：單個產(chǎn)品在應(yīng)力Sk下保存△tk時間，k＝1,2,...,i,其累積疲勞效應(yīng)為：
假設(shè)III 剩余產(chǎn)品在某應(yīng)力下的等效起始時間只與其先前的累積疲勞效應(yīng)有關(guān)，而與累積方式無關(guān)。于是有：
其中τi為折算到應(yīng)力水平Si＋1下的時間，即Si＋1下的起始時間。
由假設(shè)III可知，對于線性累積模型有：
由(3)式可推出樣品在對應(yīng)于△tk(k＝1,2,...,i)的應(yīng)力水平下的等效累積工作時間為：
由(4)式可以得出在應(yīng)力水平Si下的等效工作時間。在失效機(jī)理保持不變的情況下，步進(jìn)應(yīng)力方案的試驗數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為任意給定應(yīng)力水平下的等效工作時間,其值為：
當(dāng)i＝4時，(5)式可用圖1來描述。
2.2 非參數(shù)估計
假定隨機(jī)樣本量為n，所有樣品有相同的起始應(yīng)力和應(yīng)力遞增量，除了失效時所對應(yīng)的應(yīng)力外，樣品在相同應(yīng)力水平下的保存時間相同。試驗過程中出現(xiàn)r個產(chǎn)品失效，rc個右截尾數(shù)據(jù)，剩余n－r－rc個樣品在起始點(diǎn)和右截尾時刻之間的任意時刻截尾。對于r個失效產(chǎn)品，在應(yīng)力水平Si下的保存時間△ti,j，有j＝1,2,...,r，i＝1,2,...,Nj(Nj為產(chǎn)品失效時所經(jīng)歷的應(yīng)力水平數(shù))。對于rc個右截尾樣品，在應(yīng)力水平Si下的保存時間△ti,j，有j＝r＋1,r＋2,...,r＋rc，i＝1,2,...,NC(NC為產(chǎn)品從零點(diǎn)到右截尾時所經(jīng)歷的應(yīng)力水平數(shù))。對所有的j，有NC≥Nj。
由(4)式，失效樣品j在Nj個應(yīng)力水平下的總工作時間折算到SNj下的等效工作時間為：
同理，未失效樣品j在Nc個應(yīng)力水平下的總工作時間折算到SNc下的等效工作時間為：
對r＋rc個樣品，從Nelson－Altshuler[3]方法中可以得出Rj的估計值為：
其中,F(·)為累積分布函數(shù)；θ為待估參數(shù)。
根據(jù)極大似然估計原理及似然函數(shù)
可得到θ的估計值。
3 解決問題
很多試驗數(shù)據(jù)都表明(1)式中γi和ηi隨著應(yīng)力水平的增大而減小，工程應(yīng)用中常采用以下的關(guān)系式來描述γi和ηi與應(yīng)力水平Si之間的關(guān)系[4]：
其中，a、b、c、d均為常數(shù)。
由(1)、(11)、(12)式可得t(i,Rj)及累積分布函數(shù)的表達(dá)式分別為：
結(jié)合表1、表2中的數(shù)據(jù)，由(6)、(7)、(8)、(10)、(13)、(14)式可得出a、b、c、d的極大似然估計值(見表3)。
由表3可以看出，若采用雙參數(shù)威布爾分布，本文給出的線性累積模型與Nelson模型的結(jié)果非常接近，一方面這是因為兩者都沒有考慮無故障壽命，另一方面，說明線性累積模型本身是正確的。當(dāng)γ≠0時，兩種模型的結(jié)果相差較大，這表明線性累積模型在解決無故障壽命問題上效果是明顯的。在威布爾分布背景下，線性累積模型可以根據(jù)產(chǎn)品有無無故障壽命，分別對γ值設(shè)成非零值和零值，因此可以認(rèn)為線性累積模型是Nelson模型的擴(kuò)展。
參考文獻(xiàn)
1 W.Nelson.Accelerated Life Testing－Step－Stress Models and Data Analysis.IEEE Trans.Reliability,1980;R－29 (Jun):103～108
2 茆詩松，王玲玲.加速壽命試驗.北京：科學(xué)出版社， 1997
3 W.Nelson.Applied Life Data Analysis，1982
4 W.Nelson.Accelerated Testing: Statistical Models,Test Plans and Data Analysis，1990