隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，產(chǎn)品的質(zhì)量在不斷提高，一些產(chǎn)品已呈現(xiàn)出無(wú)故障壽命，特別是在電子行業(yè)，環(huán)境應(yīng)力屏蔽的廣泛使用，使電子產(chǎn)品出現(xiàn)了較長(zhǎng)的無(wú)故障壽命。此時(shí)，那些不考慮無(wú)故障壽命而分析產(chǎn)品壽命分布數(shù)據(jù)的模型(如Nelson模型^[1])就不再適用了。本文采用線性累積模型對(duì)具有無(wú)故障壽命的產(chǎn)品的步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，取得了比較好的效果。
1 提出問(wèn)題
　　為了解某型號(hào)電纜的絕緣性能，對(duì)其絕緣壽命進(jìn)行了定時(shí)截尾步進(jìn)應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)。表1是試驗(yàn)時(shí)各階段的應(yīng)力水平S_i，表2是部分試驗(yàn)數(shù)據(jù)。

　　各個(gè)應(yīng)力水平下電纜絕緣壽命服從威布爾分布，其可靠度函數(shù)為：
　　
　　其中，i＝1,2,...,N(N為應(yīng)力水平數(shù))；γ_i、η_i分別為位置參數(shù)和尺度參數(shù)，均與應(yīng)力水平有關(guān)；β為形狀參數(shù)，反映失效機(jī)理^[2]。本試驗(yàn)的前提是失效機(jī)理不發(fā)生變化，因而β是一個(gè)常量。那么，怎樣根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)這些參數(shù)呢？
2 分析問(wèn)題
2.1線性累積模型
　　從總體中抽取一個(gè)樣本，在應(yīng)力水平S_i下產(chǎn)品有一個(gè)確定但未知的壽命t(i,R)，t(i,R)可解釋為S_i下產(chǎn)品壽命分布的1－R分位數(shù)。線性累積模型需要作如下的假設(shè)：
　　假設(shè)I 樣品在應(yīng)力S_i下保存時(shí)間△t_i，該應(yīng)力水平下樣品的疲勞效應(yīng)為△t_i/t(i,R)；
　　假設(shè)II 任意一樣品其疲勞效應(yīng)是線性累積的，即：?jiǎn)蝹€(gè)產(chǎn)品在應(yīng)力S_k下保存△t_k時(shí)間，k＝1,2,...,i,其累積疲勞效應(yīng)為：
　　

　　假設(shè)III 剩余產(chǎn)品在某應(yīng)力下的等效起始時(shí)間只與其先前的累積疲勞效應(yīng)有關(guān)，而與累積方式無(wú)關(guān)。于是有：
　　
　　其中τ_i為折算到應(yīng)力水平S_i＋1下的時(shí)間，即S_i＋1下的起始時(shí)間。
　　由假設(shè)III可知，對(duì)于線性累積模型有：
　　
　　由(3)式可推出樣品在對(duì)應(yīng)于△t_k(k＝1,2,...,i)的應(yīng)力水平下的等效累積工作時(shí)間為：
　　
　　由(4)式可以得出在應(yīng)力水平S_i下的等效工作時(shí)間。在失效機(jī)理保持不變的情況下，步進(jìn)應(yīng)力方案的試驗(yàn)數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為任意給定應(yīng)力水平下的等效工作時(shí)間,其值為：
　　
　　當(dāng)i＝4時(shí)，(5)式可用圖1來(lái)描述。

2.2 非參數(shù)估計(jì)
　　假定隨機(jī)樣本量為n，所有樣品有相同的起始應(yīng)力和應(yīng)力遞增量，除了失效時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力外，樣品在相同應(yīng)力水平下的保存時(shí)間相同。試驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)r個(gè)產(chǎn)品失效，r_c個(gè)右截尾數(shù)據(jù)，剩余n－r－r_c個(gè)樣品在起始點(diǎn)和右截尾時(shí)刻之間的任意時(shí)刻截尾。對(duì)于r個(gè)失效產(chǎn)品，在應(yīng)力水平S_i下的保存時(shí)間△t_i,j，有j＝1,2,...,r，i＝1,2,...,Nj(Nj為產(chǎn)品失效時(shí)所經(jīng)歷的應(yīng)力水平數(shù))。對(duì)于r_c個(gè)右截尾樣品，在應(yīng)力水平S_i下的保存時(shí)間△t_i,j，有j＝r＋1,r＋2,...,r＋r_c，i＝1,2,...,N_C(N_C為產(chǎn)品從零點(diǎn)到右截尾時(shí)所經(jīng)歷的應(yīng)力水平數(shù))。對(duì)所有的j，有N_C≥Nj。
　　由(4)式，失效樣品j在N_j個(gè)應(yīng)力水平下的總工作時(shí)間折算到S_Nj下的等效工作時(shí)間為：
　　
　　同理，未失效樣品j在Nc個(gè)應(yīng)力水平下的總工作時(shí)間折算到S_Nc下的等效工作時(shí)間為：
　　
　　對(duì)r＋r_c個(gè)樣品，從Nelson－Altshuler^[3]方法中可以得出R_j的估計(jì)值為：
　　
　　其中,F(·)為累積分布函數(shù)；θ為待估參數(shù)。
　　根據(jù)極大似然估計(jì)原理及似然函數(shù)
　　
　　可得到θ的估計(jì)值。
3 解決問(wèn)題
　　很多試驗(yàn)數(shù)據(jù)都表明(1)式中γ_i和η_i隨著應(yīng)力水平的增大而減小，工程應(yīng)用中常采用以下的關(guān)系式來(lái)描述γ_i和η_i與應(yīng)力水平S_i之間的關(guān)系^[4]：
　　
　　其中，a、b、c、d均為常數(shù)。
　　由(1)、(11)、(12)式可得t(i,R_j)及累積分布函數(shù)的表達(dá)式分別為：
　　
　　結(jié)合表1、表2中的數(shù)據(jù)，由(6)、(7)、(8)、(10)、(13)、(14)式可得出a、b、c、d的極大似然估計(jì)值(見(jiàn)表3)。